Сын великого русского актёра Евгения Леонова, Андрей окончил Театральное училище имени Б.В. Щукина в 1979 (курс А.А. Казанской) и был принят в труппу театра Ленком . В 2007 году на телеэкраны вышел сериал Папины дочки , где Андрей Леонов сыграл главную роль психотерапевта и многодетного отца Сергея Васнецова, которая принесла актёру необыкновенную популярность.